Considerado o último dos “matemáticos universais”, ou seja, aquelas pessoas que contribuíram em todas as áreas da disciplina antes da chamada hiperespecialização, o matemático alemão David Hilbert apresentou, durante o Congresso Internacional de Matemática de 1900, uma lista de problemas não resolvidos abordando áreas como teoria dos números, álgebra, geometria, análise, lógica e física matemática.
Conhecidos como “os 23 Problemas de Hilbert”, esses desafios buscavam direcionar a pesquisa matemática durante o século 20, mas alguns deles permanecem sem solução até hoje. Entre esses, está o intrincado sexto problema, que pede uma formulação axiomática rigorosa das leis da física, especialmente da mecânica e da teoria das probabilidades.
Agora, em um estudo recente ainda não revisto por pares, hospedado no repositório de pré-impressões arXiv, os matemáticos Yu Deng, da Universidade de Chicago, e Zaher Hani e Xiao Ma, da Universidade de Michigan, afirmam ter unificado as três teorias físicas que explicam o movimento dos fluidos. Essa solução aborda justamente o coração do sexto problema, ou seja, a transição da mecânica estatística para a contínua, dos átomos para os fluidos.
Os níveis de análise em dinâmica de fluidos
Embora a distinção entre a visão matemática e a física seja às vezes difusa, a realidade é que os fluidos são compostos por partículas individuais seguindo as leis de Newton, com colisões e movimentos que podem ser rastreados individualmente. Já no nível mesoscópico, prevalece a equação de Boltzmann de 1872. Esta adota uma abordagem estatística, considerando o comportamento provável de partículas típicas, com foco nas tendências de grupo.
Já no mundo macroscópico, sem qualquer zoom, os fluidos são vistos como substâncias contínuas, descritos pelas equações de Euler e Navier-Stokes unificadas em 1845, sem referência a partículas individuais. Conectar essas três perspectivas era a tal “axiomatização” buscada por Hilbert, com as teorias que descrevem escalas macroscópicas derivadas daquelas que descrevem comportamentos em escalas menores.
O problema, que persistiu pelo menos até agora, é que buscar uma estrutura matemática rigorosa, que mostre como diferentes modelos físicos se conectam logicamente, tem sido um desafio persistente na física. As tentativas de unificação feitas até agora sempre esbarraram em algum tipo de limitação específica, como o funcionamento em escalas de tempo curtas ou no vácuo.
Como os pesquisadores unificaram as três teorias dos fluidos?
A unificação da dinâmica de fluidos se desenvolve em três partes: derivar a teoria macroscópica da mesoscópica, e esta da microscópica, e depois integrar essas derivações numa única linha lógica. O primeiro passo já estava bem compreendido, com contribuições do próprio Hilbert, enquanto o segundo representava um desafio matemático mais complexo devido às interações coletivas entre inúmeras partículas.
Dessa forma, Deng, Hani e Ma examinaram as equações newtonianas com partículas infinitesimais, provando sua convergência para a equação de Boltzmann. O desafio era manter esta validade em períodos extensos, onde cada colisão acrescenta complexidade histórica. Mas eles superaram isso, demonstrando matematicamente que os efeitos acumulados das interações anteriores permanecem controlados e limitados ao longo do tempo.
A descoberta mostra que as três teorias sobre fluidos são partes de uma única teoria maior. Isso prova que os cientistas estão certos ao usar diferentes modelos matemáticos dependendo da escala observada, seja olhando partículas individuais, grupos de partículas ou o fluido como um todo. Ou seja, todas convergem para descrever a mesma realidade física. A conclusão responde a uma parte do sexto problema de Hilbert, e abre novas abordagens.
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